Excelで今日の年月日の日を求める（自動更新）

=DAY(TODAY())

でOK。セル書式は標準や数値にしておきます。
同様に今月末が何日かを計算したい場合、

=DAY(EOMONTH(TODAY(),0))

とします。

参考: 月末の日付を求めたい−EOMONTH関数:Excel(エクセル)の関数・数式の使い方-日付・時間
参考: 計算式(日付から年・月・日をそれぞれ取り出す)
参考: 今日の日付が更新されないように−F9キー/Ctrl＋;キー:Excel(エクセル)の使い方-キーボード操作